Josef Božek se narodil ve slezských Běrech v české mlynářské rodině. Vystudoval gymnázium v Těšíně, kde prý sestrojil na čtyřicet důmyslných mechanismů a modelů, poté dva roky v Brně matematiku a mechaniku na škole prof. Andrého a v roce 1804 odešel do Prahy. V Praze začal studovat univerzitu, ale pak neodolal nabídce ředitele pražské polytechniky F. A. Gerstnera a nastoupil jako technik na Stavovský polytechnický ústav. Nepřišel jako student, ale z existenčních důvodů nastoupil jako mechanik. Brzy si získal skutečný věhlas sestrojením pohyblivé protézy pro knížete Ypsilantiho a ruského důstojníka Danilevského.

Dále se věnoval konstrukci čerpadel pro vodárny a později i vagónů i pro prvníkoněspřežnou železnici na evropské pevnině z Českých Budějovic do Lince.

Božek konstruoval i hodiny pro účely výuky na polytechnice, kde zhotovil soubor modelů hodinových kroků nejprogresivnějších systémů, i pro speciální použití od typů přenosných, interiérových až po věžní hodiny. Jeho přesné kyvadlové hodiny pro hvězdárnu Klementina z roku 1812 sloužily až do roku 1984 v Astronomickém ústavu v Praze. Dále zhotovoval nástěnné kyvadlové hodiny škříňové.

V roce 1811 přivezl hrabě Jiří František August Buquoy do Čech první parní stroj. Anglický stroj nebyl sestaven a jednotlivé součásti byly jen hrubě opracovány. Zprovoznění parního stroje se ujal právě Josef Božek. V září roku 1815 předvedl v Královské oboře první parou poháněný automobil na našem území. Při opakovaném předvádění v roce 1817, kdy ukazoval na Vltavě i parník vlastní konstrukce, mu byla ukradena pokladna s vybraným vstupným. Zadlužený Božek rozbil svůj vůz a zanevřel do konce života na experimenty s parním strojem.

Konstruktéry se stali i jeho synové František Božek a Romuald Božek. Starší František navázal na jeho činnost hodinářskou a jemnomechanické a převzal po něm i funkci mechanika Polytechniky. Mladší Romuald vynalézal a konstruoval mj. dopravní prostředky, časoměrné přístroje, lékařské či hudební nástroje.